理论力学之哈密顿力学

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如果不想看理论力学那么多细节，只想听听科普，那么只需要知道3件事情：

物理的理论可以完全看不到和现实的联系；
不但解释可以不同，物理甚至可以存在多种公式化的方式，只要给出同样的结果；
量子力学和经典力学其实有着很深的联系……

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一、

哈密顿力学是和拉格朗日力学等价的力学体系。然而，一般的书中介绍哈密顿力学时，总是讲它是如何从拉格朗日力学中“推导”过来的。但既然等价，这种推导应该是不必要的，应该有其他更基本的构建哈密顿力学的方式。这种方式大概涉及到相空间的几何性质，这我可能无法写得很清楚。

经验中确定一个自由度为 $N$ 的系统的运动状态需要知道 $2N$ 个参数，其中 $N$ 个取为广义坐标 $q$ 。那么另外 $N$ 个是什么，拉格朗日力学中取为广义坐标对时间的导数——广义速度，而哈密顿力学则取为 $N$ 个我们也不知道是什么东西的参数，叫做广义动量 $p$ 。

回忆一下相空间的概念，相空间是系统所有运动状态的集合，那么对于自由度为 $N$ 的系统，相空间的维度是 $2N$ 。既然我们选用广义坐标 $q$ 和广义动量 $p$ 作为系统状态的标记，不妨记 $x=(q,p)=(q_1,q_2,\cdots,q_N,p_1,p_2,\cdots,p_N)$ 为相空间上的点。

我们假设相空间上的度规是这样的简单形式（参见Dubrovin《现代几何学》第一卷）：

$g=\begin{pmatrix}0_N & I_N \\-I_N & 0_N \end{pmatrix}$
那么哈密顿力学相当于假设系统是一个梯度系统，其运动方程为微分方程：

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\nabla H(q,p,t)$
方程中的“势场” $H(q,p,t)$ 称为哈密顿量。而回忆梯度的定义：

$(\nabla H)_i=\sum_jg_{ij}\frac{\partial H}{\partial x_j}$
这个方程给出的就是正则方程（英文Canonical其实是正统的意思……物理学家在这种地方总能给人一种中二的感觉）：

$\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_i}$ $\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$
那么对于任何一个函数 $f(p,q,t)$ ，它随时间的变化其实是：

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d} q_i}{\mathrm{d} t}+\sum_i\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d} p_i}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\sum_i\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}=\frac{\partial f}{\partial t}+\langle\nabla F,\nabla H\rangle$
最后一项的 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 是内积符号，在给定度规下，内积写作：

$\langle\nabla F,\nabla H\rangle=\sum_{i,j}g_{ij}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\partial H}{\partial x_j}$
那么定义泊松括号：

$\{A,B\}=\langle\nabla A,\nabla B\rangle$
任何函数随时间的变化都可以写成：

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\{ f,H\}$
如果函数 $f$ 不显含时间，那么有：

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\{ f,H\}$
特别的，对于哈密顿量本身，直接计算容易验证

$\{H,H\}=0$
所以

$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial t}$
只要哈密顿量不显含时间，那么哈密顿量不随时间变化。

二、

哈密顿力学形式的构建到这里应该就完整了，但是这样我们看不到任何与具体问题的联系。这种联系我们还是需要从与拉格朗日力学的等价关系中寻找。首先，从上面看来，显然哈密顿量和拉格朗日量类似，也是足以表征系统运动性质的函数。因此当哈密顿量不显含时间的时候，也表明时间不影响系统运动的规律，系统具有时间平移的对称性。在拉格朗日力学中，这个对称性带来能量守恒量：

$E=\dot{q}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-L$
而在哈密顿力学中，这意味着哈密顿量不随时间变化，也就是说，哈密顿量是此时的守恒量。那么，最简单的情况下，等价性意味着哈密顿量正是能量：

$H=E=\dot{q}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-L$
如果再注意到拉格朗日力学中，动量 $p=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}$ ，那么等式的右边正好像是一个勒让德变换的形式：

$H(q,p,t)=\dot{q}p-L(q,\dot{q},t)$
（严格来说，勒让德变换应该是 $H(q,p,t)=\sup_{\dot{q}}(p\dot{q}-L(q,\dot{q},t))$ 。要求 $\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}>0$ 一般都能满足，而对于给定的 $p$ ，这最大值就取在 $p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ 的位置，所以这还可以算是个勒让德变换。）

而勒让德变换，我们知道，正是将一组自变量中的函数与另一组自变量中的函数相联系的方式。而 $(q,p)$ 坐标和 $(q,\dot{q})$ 坐标描述的是同一个空间， $p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ 正好提供了一个将两组坐标相联系的变换。在这个变换下，哈密顿量和拉格朗日量通过勒让德变换相联系，这样我们就算是明确了两套力学之间的关系。

如果从这个勒让德变换出发，我们也可以从欧拉-拉格朗日方程推导出正则方程。这个计算还是很简单的。

这里做一些注记：

同样是运动方程，欧拉-拉格朗日方程是 $N$ 个二阶常微分方程组，而正则方程是 $2N$ 个一阶常微分方程组。解这些方程组时都会引入 $2N$ 个常数，它们确定了系统的初始状态。这些地方是一样的。
同拉格朗日量类似，哈密顿量虽然等于能量，但它的绝对数值并没有意义，有意义的仍然是它的函数形式。因此，哈密顿量也可以相差一个常数而没有任何实际作用。
不是所有的系统的哈密顿量与拉格朗日量都有解析的表达式。比如，对于化学反应系统，它的哈密顿量有解析表达式： $H(q,p)=\sum_ja_j(q)(e^{\langle p,v_j\rangle}-1)$ ，但它的拉格朗日量只是数值可算，没有解析的表达式。这个哈密顿量中， $j$ 是化学反应的编号，向量 $q$ 是系统中各种分子的个数， $v_j$ 是反应 $j$ 的状态改变矢量， $a_j(q)$ 是当系统的状态为 $q$ 时，第 $j$ 个反应发生的概率。

三、

当然，哈密顿力学远远不只有这么点点内容。如果给定系统的初态，将已经极小化的作用量当做末态的函数，考虑哈密顿量与之的关系，有（嗯，这里记号和概念会有点乱，注意一下积分符号里面的 $q,p$ 是过程的函数，而积分符号外面的 $q,p$ 是末态的坐标。）：

$S(q,t)=\int_{t_0}^t L\,\mathrm{d}t=\int_{t_0}^t(p\dot{q}-H(q,p,t))\,\mathrm{d}t$
所以： $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=L$

对路径做变分，考虑欧拉-拉格朗日方程： $\delta S=\int_{t_0}^t\delta L\,\mathrm{d}t=\left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q\right]_{t_0}^{t}=\frac{\partial L}{\partial q}\delta q(t)=p\delta q$
得到： $\frac{\partial S}{\partial q}=p$

那么由上面几式， $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\partial S}{\partial q}\dot{q}=\frac{\partial S}{\partial t}+p\dot{q}=L$

$\frac{\partial S}{\partial t}=L-p\dot{q}=-H$
这样我们可以进一步用作用量 $S$ 来代替动量 $p$ ，得到的也是一个运动方程，叫做哈密顿-雅克比方程：

$\frac{\partial S}{\partial t}+H(q,\frac{\partial S}{\partial q},t)=0$
关于相空间中的几何还有众多topic，比如表明相空间中演化中区域体积不变的刘维尔定理，保持正则方程不变的正则变换等等。因为我也没有完全整理好它们的significance，这里就不详述了。

四、

在将经典力学过渡到量子力学时，相空间的坐标不再是实数，而要变成算符，系统的状态改由希尔伯特空间中的矢量——态来描述。由于算符的对易子所属的李代数与泊松括号的李代数同构，可以将经典力学中的方程翻译成量子力学。将经典的哈密顿量中的函数 $q,p$ 改成算符 $\hat{q},\hat{p}$ ，得到的就是量子力学的哈密顿量；将泊松括号改成对易子，得到的就是量子力学的运动方程——海森堡方程：

$\frac{\mathrm{d}\hat{F}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\hat{F}}{\partial t}+\frac{1}{i\hbar}[\hat{F},\hat{H}]$
更深层次的关系，则要通过路径积分来理解：

一个系统从状态 $|a\rangle$ 演化到 $|b\rangle$ 的概率，写成对中间状态 $|a'\rangle$ 的积分，等于：

$\langle a|b\rangle=\int\langle a|a'\rangle\langle a'|b\rangle\,\mathrm{d}a'$
如果我们加入很多中间状态：

$\langle a|b\rangle=\int\langle a|a_1\rangle\langle a_1|a_2\rangle\langle a_2|a_3\rangle\cdots\langle a_n|b\rangle\,\mathrm{d}a_1\mathrm{d}a_2\cdots\mathrm{d}a_n$
并将 $n\to\infty$ ，得到的相当于是一个对于路径的积分。注意这里有测度的问题，因为一般的无穷重积分是没有定义的。严格定义路径积分需要引入维纳测度，细节我就不清楚了。而对于任意接近的两个无限接近的状态，我们假设概率为：

$\langle a_i|a_{i+1}\rangle=\exp\left(\frac{iL}{\hbar}\mathrm{d}t\right)$
那么总的概率可以写成：

$\langle a|b\rangle=\int\prod_{\mathrm{Path}}\exp\left(\frac{iL}{\hbar}\mathrm{d}t\right)\,\mathrm{D}x=\int\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int L(x(t),\dot{x}(t),t)\,\mathrm{d}t\right)\,\mathrm{D}x=\int\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[x]\right)\,\mathrm{D}x$
这里 $\mathrm{D}x$ 表示积分是对于所有可能的路径积分。那么以这个积分为出发点，结合经典力学，也可以完全构建出量子力学。

从这里也可以粗糙地看出量子力学如何过渡到经典力学：如果作用量 $S$ 比起 $\hbar$ 大太多，对上面的积分有贡献的基本只有经典的路径，因为经典路径对应于 $S$ 极小的路径。而偏离经典路径越远， $S$ 越大，附近路径的 $\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[x]\right)$ （注意其实是三角函数）震荡的频率也越快，求和后贡献基本相消，于是实际上有贡献的只有经典路径及其周围很窄的范围，因而此时粒子运动只走确定的路径。