如何使用微分几何表述胡克定律

这是两年前写的note的一小节，现在稍微翻译一下公开，供有物理竞赛的同学和老师们参考。没有需要的人只要知道本文仅仅是在说胡克定律 $F=kx$ 就可以了。

参考：朗道《弹性力学》。这本书非常适合物理背景的人读，但遗憾的是朗道没有用微分几何，结论很难写在其他坐标系中。以及，朗道的推导有一处错误，我在文中做了修正。

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记号

记 $\Omega$ 为整个三维空间的点的集合，未发生形变的连续介质占据的空间为 $\Omega_g\subset \Omega$ ，而形变后连续介质占据空间 $\Omega_d\subset\Omega$ 。形变用映射 $\varphi_d: M\to N$ ， $M\in\Omega_g$ ， $N\in\Omega_d$ 来表示。记 $\Omega$ 上配备有坐标系 $\xi: \Omega\to\mathbb{R}^3$ ，使得 $x_g^i=\xi(M\in\Omega_g)$ ， $x_d^i=\xi(M\in\Omega_d)$ 。

应变

考虑 $\Omega_g$ 中两个非常接近的质点，之间的距离是（爱因斯坦求和规则）：
$d l^2=g_{ij}d x_g^id x_g^j$
形变之后，这两个质点分别发生位移：
$d x_d^i=\xi^i(\varphi_d(x_g^j+d x_g^j))-\xi^i(\varphi_d(x_g^j))=\frac{\partial x_d^i}{\partial x_g^j}d x_g^j$
于是新的距离是：
$d l'^2=g_{ij}d x_d^id x_d^j=g_{kl}\frac{\partial x_d^k}{\partial x_g^i}\frac{\partial x_d^l}{\partial x_g^j}d x_g^id x_g^j$
如果我们将形变视作度规的变化，我们可以定义形变张量为度规的差：
$u_{ij}=\frac{1}{2}(g_{kl}\frac{\partial x_d^k}{\partial x_g^i}\frac{\partial x_d^l}{\partial x_g^j}-g_{ij})$
即形变矢量为 $u^i=x_d^i-x_g^i$ ，我们假定形变足够小，以至于可以视作一个张量场并忽略所有阶数高于 $\frac{\partial u^i}{\partial x_g^j}$ 的无穷小。于是由 $\frac{\partial x_d^k}{\partial x_g^i}=\delta^k_i+\frac{D u^k}{D x_g^i}$ ，形变张量可以写作对称形式：
$u_{ij}=\frac{1}{2}(g_{jl}\frac{Du^l}{Dx_g^i}+g_{il}\frac{Du^l}{Dx_g^j})$
其中， $\frac{D}{Dx^i_g}$ 表示共变导数。因为我们可能会使用非笛卡尔坐标系，所以需要使用共变导数。

应力

我们假定连续介质中质点的相互作用只有近距离的，于是施加在介质内部每一小块上的力的分量，都可以视作施加在这块介质表面，即力密度的体积分等于某个东西对表面的积分：
$\int_{V\subset \Omega_d} f^jd V=\int_{\partial V}\sigma^{ij}d s_i$
于是考虑到散度定律，力密度可以写成某个张量的散度：
$f^i=\frac{D\sigma^{ij}}{Dx_d^j}$
这个张量 $\sigma^{ij}$ 叫做应力张量。由于我们要求介质内部的净力矩为0，应力张量应当是一个对称张量。施加于小面元 $d s_j$ 上的力正是 $\sigma^{ij}d s_j$ 。力平衡条件要求介质内部每个点上的净应力为0（如果忽略重力），即：

$\frac{D\sigma^{ij}}{Dx_d^j}=0$ 由于我们考虑的是小形变，所以简单起见可以近似地将微分中的 $x_d$ 换成 $x_g$ 。

胡克定律

下面考虑系统的自由能在形变中的变化。对于系统的小形变，自由能的变化应等于周围环境做的功，减去 $SdT$ 。如果温度不变，我们可以忽略 $SdT$ 这一项，所以：

$\delta F=\delta W=\int_{\partial\Omega_g}g_{ij}f^i\delta x_d^jd s$
其中 $\delta x_d^j$ 是小面元 $ds$ 的位移。因为 $f^i=\sigma^{ik}n_k$ ，其中 $n_k$ 是面元 $ds$ 的法向量，我们可以用散度定律将这个积分写为：

$\delta F=\int_{\Omega_g}\frac{D}{Dx^k_d}(g_{ij}\sigma^{ik}\delta x_d^j)d V=\int_{\Omega_g}g_{ij}\delta x_d^j\frac{D\sigma^{ik}}{Dx^k_d}d V+\int_{\Omega_g}g_{ij}\sigma^{ik}\frac{D\delta x_d^j}{Dx^k_d}d V$
因为我们假定准静态过程中力总是平衡的，第一项为0。而第二项，使用小形变的假设与应力张量的对称性，可以写为：

$\delta F\approx\int_{\Omega_g}g_{ij}\sigma^{ik}\frac{D\delta x_d^j}{Dx^k_g}d V=\frac{1}{2}\int_{\Omega_g}\sigma^{ik}\left(g_{ij}\frac{D\delta x_d^j}{Dx^k_g}+g_{kj}\frac{D\delta x_d^j}{Dx^i_g}\right)d V=\int_{\Omega_g}\sigma^{ik}\delta u_{ik}d V$

因此对于介质中的某个小体积内，有：

$\frac{\partial F}{\partial u_{ij}}=\sigma^{ij}$ 如果我们将自由能对应变张量做泰勒展开，领头项的阶数应该是二次的，我们忽略掉高阶项，一般地写作：

$F=\int_{\Omega_g}\left[\frac{\lambda}{2}(g^{ij}u_{ij})^2+\mu g^{ik}g^{jl}u_{ij}u_{kl}\right]d V$ 因此有：

$\sigma^{ij}=\frac{\partial F}{\partial u_{ij}}=\lambda g^{ij}g^{kl}u_{kl}+2\mu g^{ik}g^{jl}u_{kl}$ 这就是弹性材料满足的胡克定律，其中 $\lambda$ 和 $\mu$ 是兰姆系数（可以与杨氏模量、泊松比相互表出）。

力平衡方程

如果要解出弹性形变，我们只需要将应变张量的定义和胡克定律代入力学平衡条件，得到：

$(\mu+\lambda)g^{ij}\frac{D}{Dx_g^j}\frac{Du^l}{Dx_g^l}+\mu g^{jl}\frac{D}{Dx_g^j}\frac{Du^i}{Dx_g^l}=0$ 于是只要给出介质初始未形变的状态和适当的边界条件，我们可以解出弹性形变的位移 $u^i$ ，于是根据应变张量的定义和胡克定律，应变张量和应力张量都可以计算出来。于是弹性形变问题就完全解决了。