起源于古希腊的几何学理念在两千多年以来一直贯穿在人类的思想中，不管是科学还是哲学，甚至政治和艺术都是几何学思想的结晶。但是，19世纪初，几何学却经历了一场革命：人们发现，空间不一定非得是古希腊数学家欧几里德描述的那样，还可以有完全不同的几何学。在本文中，我们就将看到这一革命性的认识是如何影响哲学、科学、文化和艺术的。
欧几里德的世界
让我们先做一个实验吧：想象一个平面，上面有一条直线L和一个不在L上的点P。平面上有多少条线平行于直线L并经过点P？
有多少条线经过点P并平行于直线L？
如果你的答案是“显然只有一条”，那么你的直觉就是欧几里德式的。欧几里德也相信经过直线外一点只可能有一条直线与已知直线平行（欧几里得“证明”了该命题，但它实际上是不能由欧几里得几何中的其他公理和定理导出的，只能作为欧几里德几何系统中的第五条公设）
欧几里德公设
1 任意两点必定可以用一条直线连接。
2 一条有限直线可以无限延长。
3 以任一点为圆心，任一长度为半径可以作一个圆。
4 所有直角彼此相等。
5 如果一条直线与两条直线相交，同一侧的内角之和小于两个直角，则两条直线在无限延长后，在该侧相交。（这条公设与“过直线外一点只可能有一条直线与已知直线平行”互相等价，可以证明。）
但是如果你考虑在一个不是平面的表面上的线呢？下图展示了一个称为“双曲抛物面”的鞍形面：
该模型上绘制的线是抛物面的“直线”：它们是点间距离最短的路径。但是请注意，红线和黄线都平行于蓝线，而它们都经同一个点。更重要的是，蓝色和黄色的平行线并非与平面上的平行线一样处处距离相等。
事实证明，双曲抛物面上也可以形成一个完全合理、自洽的几何空间。原来空间可以不必符合欧几里得的描述（以及我们的直觉感知）——这种认识对于19世纪的数学家和思想家来说实在是太革命性了，以至于大数学家高斯发现了该事实，却从未鼓起勇气发表关于这个问题的工作。但后来黎曼（Bernhard Riemann）等数学家纷纷揭示，除了上面提到的双曲抛物面以外，还存在着许多非欧空间。
那么，这一认识对人类思想有何重大影响呢？
空间的哲学
一旦你开始考虑空间的性质，你不可避免地会遇到这个问题：空间到底是什么？它是一种东西吗？它是一种物质吗？甚至，它是真实存在的吗？哲学家康德说空间存在于我们心中：我们在构建一个几何结构时，重要的不是画在纸上的图形，而是我们在思维空间中所看到的它们。我们在思维空间中构建我们的认知，而这样的思维空间对对于所有人来说都有着相同的特性。康德的空间是欧几里德式的。很难想象要如何在一个非欧空间中构建我们的认知，那么，或许非欧空间不像欧式空间一样真实。
但是，物理学家亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）却认为，非欧空间和欧式空间一样真实。例如，我们都见过凸面镜（汽车的后视镜就是凸面镜），凸面镜中的镜像就是一个三维非欧空间。看下图，你会注意到超市货架的顶边和底边的平行线并不总是相隔同样的距离。我们可以在这样一个空间中构建我们的认知吗？如果你已经会熟练使用你车上的后视镜，答案就是“可以”。
图片来源：Dean Hochman, CC BY 2.0。
你可能说镜中的像只是一个幻象，只有我们自己所在的欧几里德式世界才是真实的。但是你真的确定吗？虽然凸面镜中的人看起来比他们实际上要小，但是如果将一把尺子放在他们旁边，尺子上的读数也会相应变小，镜中的测量与他们在我们的世界中的测量仍能保持一致，说不定镜中的人同样会坚持只有镜中世界才是真实的呢。很难反驳——正如亥姆霍兹所说，你无法进行任何几何实验来解决究竟哪一个世界是真实世界的问题。
所以，与康德相反，亥姆霍兹认为几何的公设既不是由人类智慧所决定的，也不是由逻辑必然性决定的。他认为，空间是否是欧几里德空间，只是一个经验问题。
法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）的观点则更为激进：他也认为新的几何是革命性的，但是他既不同意康德也不同意亥姆霍兹。如果如亥姆霍兹所言，几何来自经验，几何就不是一门精确的科学。庞加莱知道我们的脑海中不只有一种空间，因此，几何的公设不是一种人造的先验直觉（如康德所说），也不是实验事实（如亥姆霍兹所说），更不必是不证自明的真理（如以前的思想家笛卡尔和数学家拉格朗日所说）。庞加莱认为，几何公设只是惯例（conventions）。
那么，我们应该如何决定采用哪种惯例呢？是选欧几里德几何，还是新的非欧几何？庞加莱说我们可以根据经验来选择，但只要避免矛盾，选择哪种几何在根本上是自由的。“欧几里德几何是正确的吗？这个问题是没有意义的，就好像问公制单位是不是正确的，旧的度量衡是不是错误的一样。一种几何不会比另一种几何更‘正确’，只会更方便。”
这是观念的一种革命性变化：数学不再完全符合现实，我们可以自己选择想要的数学模型，只要它们能将我们想要它做的事做得最好。
到了20世纪，黎曼几何（非欧几何的一种）找到了一展身手的用武之地。爱因斯坦在广义相对论中描述的空间，正是以黎曼几何来表述的。那么，这是否意味着真实空间实际上是非欧的？庞加莱会说，只是在这里非欧几何管用罢了。
空间的心理学
早在非欧几何诞生之前，哲学家们，比如贝克莱主教（Bishop Berkeley）就指出，我们实际上并不能看到距离，我们所看到的只是视角，再用这一实际看到的角度来推断事物的几何性质。
这里给出了一个简单例子来说明这一点。看下图，像不像房间角落天花板和两面墙的交汇处？
这看起来就像三个90度的角在一起，但是如果你按照实际测量每个角，它们其实是120度。我们的视觉空间与我们声称自己看到的空间并不一样。
非欧几何被发明以来，心理学家考虑了很多类似的情况。亥姆霍兹就做了一个实验，他让黑屋子里的受试者将桌子上的小光点排列成两条渐行渐远的平行线，发现用这些光点排出的线在观察者看来并不平行，而是发生了弯曲。亥姆霍兹因此认为，视觉空间是非欧的。而现在学界普遍的看法是，视觉感知空间并不存在一种一致的几何来描述。
这是欧洲的情况。那在其它文化中又是什么样的呢？文化语言学家史蒂文·莱文森（Steven Levinson）指出，不同文化中的人们对空间的感知方式也不同。
一些文化用固定坐标系来定义空间，采用四个基本方向，比如“车在建筑的南边”，另外一些文化则依据物体间的关系定义他们的空间认知，如“车在建筑的右边”，没有涉及任何空间概念。甚至还有不涉及个人的方式，如“车在建筑的前面”。在这种方式中，物体本身的属性就定义了它的位置。
如今的GPS导航系统也改变了人们对空间的天生直觉，空间不再是绝对的，而是由物体间的关系决定。我曾问马里兰的一位出租车司机，GPS系统有没有改变他对空间的认知。他说：“当然！以前我的脑海中有整个巴尔的摩（马里兰一城市）的地形，现在则没有了。比如要载你到某个地方，我知道要从机场左转，沿高速公路到某某出口，然后右转。你下车后，我就反过来——左转，上高速，右转进入机场。我会回到原来的位置，但是我不知道在途中都经过了哪些地方。”
文化、艺术和建筑
对空间主题特别感兴趣的一个思想家是西班牙的奥特加·伊·加塞特（José Ortega y Gasset）。奥特加用新的几何观来反对地方主义——他认为，正如欧几里得几何只是多种几何中的一种，无法外推到整个宇宙一样，假设我们自己的经验或价值观是普世的也是毫无根据的。
奥特加说，客观现实可从多种多样的角度来看待。“爱因斯坦的相对论召唤了新的时空几何，促进了不同角度观点的和谐多样。”这样的思想不仅适用于数学和物理，也可以延伸到政治和文化领域。奥特加说，或许在中国也存在着一种中国特色的思维角度，并不比西方逊色。
新的几何促进了艺术自由，激发了多种多样作品的诞生。只举一个例子，看这幅胡安·格里斯（Juan Gris）1912年画的巴勃罗·毕加索（Pablo Picasso）的肖像，它正是奥特加所说的“从所有角度来看现实”的真实写照。
你会注意到，这幅作品呈现了多个角度的面和角，尤其在脸部。艺术家毕加索根本就没有放置在人们通常视觉上习惯的三维空间中。其他艺术家，包括立体派和超现实主义艺术家，例如曼·雷（Man Ray），也受到了新几何出现的影响。
在建筑方面，一个杰出的代表就是今年刚刚去世的扎哈·哈迪德（Zaha Hadid），她是第一位赢得普利兹克建筑奖的女性。她本科时学的专业是数学，谈及21世纪的世界时她曾说：“最重要的是运动，物体的流动，一种没有任何重复的非欧几何，一种新的空间秩序。”
扎哈·哈迪德的银河SOHO。
图片来源：Forgemind ArchiMe, CC BY 2.0。
下图是伦敦的奥运会自行车馆，屋顶是一个双曲抛物面，也可以看出受了非欧几何的影响。
图片来源：Richard Davies
艺术家受新几何的影响，并援引它的权威为自己所用，将它作为自觉的现代艺术创作的一部分，帮助我们看到了一个不同的世界。
欧几里德几何认为，“理性可以描述整个宇宙，它是对称的、稳定的、均匀的，万物都有原因，并且所有研究它的人都会得到一致的结论。”但我们现在生活的世界已不再如此。非欧几何的建立，极大地影响了我们所有人看待世界的方式。
本文基于Grabiner 2015年在牛津大学Ada Lovelace研讨会上的演讲。下面是演讲视频：
http://livestream.com/oxuni/lovelace/videos/106690238
朱迪思·V·格拉比纳是匹泽学院的数学教授，她拥有芝加哥大学的数学学士学位和哈佛大学的科学史博士学位，也是美国数学学会的在职成员，因杰出的数学教学赢得了美国数学学会的海默奖。
原文链接：
https://plus.maths.org/content/how-new-geometries-reshaped-our-world
文章来源于环球科学公众号
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