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对两个质数定理的证明，是一个展现群论与数论之间美妙的相互关系的好例子。
诺贝尔物理学奖获得者肯尼斯·格迪斯·威尔逊（Kenneth Geddes Wilson，1936 – 2013），在量子场论和凝聚态物理学等领域具有深刻的影响。他几年前去世了。我在纪念他的文章《回忆肯·威尔逊》（“My Memory of Ken Wilson”）中讲述了他对我的学术生涯的影响。我写的群论教科书里讲过下面这个故事。
图1. 肯尼斯·格迪斯·威尔逊（Kenneth Geddes Wilson，1936 – 2013）。
量子电动力学（QED）的创始人之一，著名物理学家，理查德·菲利普斯·费曼（Richard Phillips Feynman，1918 – 1988），在任教的美国加州理工学院为研究生开设多次研讨班（seminar）。肯·威尔逊曾是参加研讨班的学生之一。有一次在研讨班期间，费曼撞见威尔逊和一位同学正在说话，就问威尔逊在说什么。威尔逊回答说：他们在讨论“威尔逊定理（Wilson’s theorem）”。费曼于是让威尔逊上前在黑板上陈述并证明“威尔逊定理”。
不过，定理中的威尔逊是另一个人！“威尔逊定理”是由英国的约翰·威尔逊（John Wilson，1741 – 1793）于1770年左右发现，并由他的老师爱德华·华林（Edward Waring，约1736 – 1798）于同年宣布的。爱德华·华林和约翰·威尔逊师生都没能证明这个定理。该证明是在1771年，由物理学家皆较为熟悉的法籍意大利物理学家和数学家，约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）给出的。阿拉伯学者哈金（Ibnal-Haytham）可能在1000年左右就知道这个定理。
这个定理说的是什么？让我们先做几个数值试验。
取一个自然数n，看看 (n-1)!+1 是否能被 n 整除（这里解释一下何为“!”。比如对于正整数m，m! 表示其阶乘，即所有小于等于m的正整数的乘积。例如5!=5·4·3·2·1=120 。）：
取n=3，有 (3-1)!+1=3 。是，它能被3整除。
取n=4，有 (4-1)!+1=7。否，它不能被4整除。
取n=5，有 (5-1)!+1=25。是，它能被5整除。
取n=6，有 (6-1)!+1=121。否，它不能被6整除。
取n=7，有 (7-1)!+1=721。是，它能被7整除。
读者可以再取几个数试算。
“威尔逊定理”说的是，当且仅当n是一个质数时，(n-1)!+1能被n整除。这个定理可以用于检验一个自然数是否为质数。
有些物理学家会风趣地说，这不用证明，因为我们已有5个数据点，这个定理的正确性的置信水平（confidence level）为99%。（这当然是一个玩笑！）对数学家而言，当然需要一个证明。也许你可以想出一个证明，足以媲美华林和威尔逊的才智。或许，你不能给出证明，但你仍然可以阅读我的群论教科书中的证明。这个证明是一个很好的例子，展现了群论与数论之间美妙的相互关系。
这儿说个经典的笑话。一位工程师、一位物理学家和一位数学家第一次游览新西兰。他们在火车上望见窗外一只黑色的羊。工程师惊叹：“新西兰的羊是黑色的。” 物理学家却说：“你还不能这么认为。如果等会儿看见另外一两只羊也都是黑色的，那么我们才可以比较肯定地猜测，新西兰所有的羊都是黑色的。”然而数学家则笑着说：“你只能说，我们从火车上看到的新西兰的羊，它们朝向火车的这一侧是黑色的。”
现在，我想提一下“费马小定理”（Fermat’s little theorem）（称之为“小定理”是为了区别于著名的“费马大定理（费马最后定理）”）。皮埃尔·费马（Pierre de Fermat，1601或1607/1608 – 1665）在物理学和数学上皆做出了基础的贡献。在这儿只讨论“费马小定理”的一个特殊情形。
如果p是一个大于2的质数，“费马小定理”说，2p-1-1能被p整除。
此时，读者更倾向于做物理学家，还是数学家？
Gutfreund和Little用物理学语言给出了一个优美的证明。
考虑在一个圆环上排列着p个符号（symbol）其中每个符号可以取值“+”或“-”（图2）。物理学家称这个圆环具有p个伊辛自旋（Ising spin），并称这p个“+”或“-”的符号的一种排列为一个“自旋构型”（spin configuration）。物理学有一个领域称为统计物理和热力学，其中含括了计算构型的个数。如果读者不知道这些术语，比如“自旋”等，没有关系，这对接下来的讨论并不重要。
以下的讨论适用于任意的质数p。为了使读者易读，我将常常以p＝5为例。比如，p＝5时，++–+这一个排列就是一个构型（configuration）。
因为每个符号可以取两个值，即“+”或“-”，所以，p＝5时，这个圆环总共有2×2×2×2×2=25=32个构型。对于任意的质数p，总共有2p个构型。如果两个构型可以通过逆时针旋转若干格而变为相同，则称这两个构型是等价的（equivalent），或者说，是同类的。例如，p＝5时，以下五个构型，++–+、+–++、–+++、-+++-和+++–，是互相等价的（图2）。这和我们的直观相符：在这5个构型中，每个构型都有3个相邻的“+”和2个相邻的“-”。这5个互相等价的构型，被称为在同一个“等价类”（equivalence class）中，或者简称在同一“类”（class）中。
这里请注意一个重要方面：符号都取“+”的构型，例如p＝5时的+++++，是特殊的；因为它只等价于自身。它所在的等价类只有一个构型。同理，符号都取“-”的构型，例如p＝5时的—–，也是特殊的。这两个构型皆是特殊的。
除了这两个特殊构型，我们将其余的2p-2个非特殊构型划分为等价类。如上所述，每个非特殊构型所在的等价类正好包含p个构型。因此，2p-2能被p整除。例如，p=5时，有32-2=30个非特殊构型，并有6个等价类；这时25-2确实能被5整除。
现在，我们几乎完成了证明！请注意，2p-2显然是一个偶数（因为我们从偶数
2p上减去了另一个偶数2）。那么，2p-2能同时被2和p整除。因此，当p为大于2的质数时，2p-2能被2p整除。从而，(2p-2)/2=2p-1-1能被p整除。定理的证明完成了。
留心的读者可能会提一个问题：在上面的证明中，我们在哪儿使用了“p是大于2的质数”的事实？
为了解释这个微妙的问题，最简单的办法是检查一下，当p不为质数时，前面的证明如何失效。我们以p=6为例，考虑+-+-+-构型。它逆时针旋转一格后变为-+-+-+构型；再逆时针旋转一格后，它又变回了原来的+-+-+-构型。从而，+-+-+-和-+-+-+构成了一个等价类。这个等价类只包含2个构型，而不是6个。读者可以检验，+–+–、–+–+、-+–+-这3个构型也构成一个等价类。因此，在上面的证明中，仅当p为质数时，每个非特殊构型的等价类才包含p个构型。
这和群论有什么关系？要完全地回答这个问题会很复杂。对于已经了解一些群论的读者，我可以提一下，上一个段落的最后一句结论可以从“拉格朗日定理”（Lagrange’s theorem）导出。这位拉格朗日，就是前面提到的证明“威尔逊定理”的拉格朗日。
现在请读者们自己思考一个简单的问题：为什么“费马小定理”对于质数2不成立？显然21-1=1不能被2整除。
聪明的读者可能意识到了这个定理可以被推广。例如，我们可以使环上的每个符号，不是取2个值“+”“-”，而是取3个值“+”“-”“×”，或者取a个值，其中a为一个任意大的自然数。
“费马小定理”说，如果p是大于2的质数，而a不是p的倍数，那么ap-1-1能被p整除。这正是费马提出的原始版本。
读者可以试试不同的a和p，这很有趣。例如，p=3时，这个定理说，只要a不是3的倍数，a2-1就能被3整除。
请注意“费马小定理”并没有说，如果a不是p的倍数，当且仅当p是大于2的质数时，ap-1-1能被p整除。所以，这个定理不能用作完美的对质数的检验（primality test）。在实际算法中，给定一个非常大的自然数p，我们随机地取一系列不是p的倍数的自然数a，可以迅速检验ap-1-1是否能被p整除。若试验时对某个a不成立，那么p便不是质数。若对足够多的a都成立，那么p很有可能是质数。顺便提一下，若ap-1-1能被p整除，但p不是质数，那么，这样的a被称作“费马骗子数”（Fermat liar），这样的p则被称作“费马伪质数”（Fermat pseudoprime）。
因我从肯·威尔逊的一个故事说起，让我再以另一个故事作结。肯·威尔逊从哈佛学院毕业后，西迁到加州理工学院攻读研究生。他的父亲（E. B. Wilson）是知名化学家和哈佛大学教授。他告诉肯·威尔逊，加州理工学院有两个绝顶聪明的人：理查德·费曼和默里·盖尔曼（Murray Gell-Mann，1929 – ），你一到那里就应该向他们介绍你自己。
当威尔逊去敲费曼的办公室门时，听到这位著名的物理学家喊道：“别打扰我！我很忙。”他又敲了几下，这时费曼打开门，瞪着威尔逊，问道：“干什么？”威尔逊解释道，他是新来的研究生，希望费曼给他建议一个题目做研究。费曼喊道：“滚开！（Get lost!）如果我有一个好题目，我就自己去研究了！”
接着，威尔逊去找盖尔曼。盖尔曼热情地欢迎他到研究生院来。威尔逊请盖尔曼给他建议一个题目，盖尔曼向他解释说，拉斯·昂萨格（Lars Onsager，1903 – 1976）已经给出了二维伊辛模型（Ising model）的严格解，并建议威尔逊去求解三维伊辛模型。然后说道：“等你找出严格解后，再来找我谈。”有趣的是，五十多年后的今日，三维伊辛模型仍未被严格求解，尽管人们已经知道它的很多临界性质。
这个故事，刻画了当代人物对待研究生的两种极端方式。哪种更为不妥呢？我还是请读者们自己思考吧。
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