如何使用微分几何表述胡克定律

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这是两年前写的note的一小节,现在稍微翻译一下公开,供有物理竞赛的同学和老师们参考。没有需要的人只要知道本文仅仅是在说胡克定律F=kx就可以了。

参考:朗道《弹性力学》。这本书非常适合物理背景的人读,但遗憾的是朗道没有用微分几何,结论很难写在其他坐标系中。以及,朗道的推导有一处错误,我在文中做了修正。

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记号

\Omega为整个三维空间的点的集合,未发生形变的连续介质占据的空间为\Omega_g\subset \Omega,而形变后连续介质占据空间\Omega_d\subset\Omega。形变用映射\varphi_d: M\to NM\in\Omega_gN\in\Omega_d来表示。记\Omega上配备有坐标系\xi: \Omega\to\mathbb{R}^3,使得x_g^i=\xi(M\in\Omega_g)x_d^i=\xi(M\in\Omega_d)

应变

考虑\Omega_g中两个非常接近的质点,之间的距离是(爱因斯坦求和规则):
d l^2=g_{ij}d x_g^id x_g^j
形变之后,这两个质点分别发生位移:
d x_d^i=\xi^i(\varphi_d(x_g^j+d x_g^j))-\xi^i(\varphi_d(x_g^j))=\frac{\partial x_d^i}{\partial x_g^j}d x_g^j
于是新的距离是:
d l'^2=g_{ij}d x_d^id x_d^j=g_{kl}\frac{\partial x_d^k}{\partial x_g^i}\frac{\partial x_d^l}{\partial x_g^j}d x_g^id x_g^j
如果我们将形变视作度规的变化,我们可以定义形变张量为度规的差:
u_{ij}=\frac{1}{2}(g_{kl}\frac{\partial x_d^k}{\partial x_g^i}\frac{\partial x_d^l}{\partial x_g^j}-g_{ij})
即形变矢量为u^i=x_d^i-x_g^i,我们假定形变足够小,以至于可以视作一个张量场并忽略所有阶数高于\frac{\partial u^i}{\partial x_g^j}的无穷小。于是由\frac{\partial x_d^k}{\partial x_g^i}=\delta^k_i+\frac{D u^k}{D x_g^i},形变张量可以写作对称形式:
u_{ij}=\frac{1}{2}(g_{jl}\frac{Du^l}{Dx_g^i}+g_{il}\frac{Du^l}{Dx_g^j})
其中,\frac{D}{Dx^i_g}表示共变导数。因为我们可能会使用非笛卡尔坐标系,所以需要使用共变导数。

应力

我们假定连续介质中质点的相互作用只有近距离的,于是施加在介质内部每一小块上的力的分量,都可以视作施加在这块介质表面,即力密度的体积分等于某个东西对表面的积分:
\int_{V\subset \Omega_d} f^jd V=\int_{\partial V}\sigma^{ij}d s_i
于是考虑到散度定律,力密度可以写成某个张量的散度:
f^i=\frac{D\sigma^{ij}}{Dx_d^j}
这个张量\sigma^{ij}叫做应力张量。由于我们要求介质内部的净力矩为0,应力张量应当是一个对称张量。施加于小面元d s_j上的力正是\sigma^{ij}d s_j。力平衡条件要求介质内部每个点上的净应力为0(如果忽略重力),即:

\frac{D\sigma^{ij}}{Dx_d^j}=0由于我们考虑的是小形变,所以简单起见可以近似地将微分中的x_d换成x_g

胡克定律

下面考虑系统的自由能在形变中的变化。对于系统的小形变,自由能的变化应等于周围环境做的功,减去SdT。如果温度不变,我们可以忽略SdT这一项,所以:

\delta F=\delta W=\int_{\partial\Omega_g}g_{ij}f^i\delta x_d^jd s
其中\delta x_d^j 是小面元ds的位移。因为f^i=\sigma^{ik}n_k,其中n_k是面元ds的法向量,我们可以用散度定律将这个积分写为:

\delta F=\int_{\Omega_g}\frac{D}{Dx^k_d}(g_{ij}\sigma^{ik}\delta x_d^j)d V=\int_{\Omega_g}g_{ij}\delta x_d^j\frac{D\sigma^{ik}}{Dx^k_d}d V+\int_{\Omega_g}g_{ij}\sigma^{ik}\frac{D\delta x_d^j}{Dx^k_d}d V
因为我们假定准静态过程中力总是平衡的,第一项为0。而第二项,使用小形变的假设与应力张量的对称性,可以写为:

\delta F\approx\int_{\Omega_g}g_{ij}\sigma^{ik}\frac{D\delta x_d^j}{Dx^k_g}d V=\frac{1}{2}\int_{\Omega_g}\sigma^{ik}\left(g_{ij}\frac{D\delta x_d^j}{Dx^k_g}+g_{kj}\frac{D\delta x_d^j}{Dx^i_g}\right)d V=\int_{\Omega_g}\sigma^{ik}\delta u_{ik}d V

因此对于介质中的某个小体积内,有:

\frac{\partial F}{\partial u_{ij}}=\sigma^{ij}如果我们将自由能对应变张量做泰勒展开,领头项的阶数应该是二次的,我们忽略掉高阶项,一般地写作:

F=\int_{\Omega_g}\left[\frac{\lambda}{2}(g^{ij}u_{ij})^2+\mu g^{ik}g^{jl}u_{ij}u_{kl}\right]d V因此有:

\sigma^{ij}=\frac{\partial F}{\partial u_{ij}}=\lambda g^{ij}g^{kl}u_{kl}+2\mu g^{ik}g^{jl}u_{kl}这就是弹性材料满足的胡克定律,其中\lambda\mu是兰姆系数(可以与杨氏模量、泊松比相互表出)。

力平衡方程

如果要解出弹性形变,我们只需要将应变张量的定义和胡克定律代入力学平衡条件,得到:

(\mu+\lambda)g^{ij}\frac{D}{Dx_g^j}\frac{Du^l}{Dx_g^l}+\mu g^{jl}\frac{D}{Dx_g^j}\frac{Du^i}{Dx_g^l}=0于是只要给出介质初始未形变的状态和适当的边界条件,我们可以解出弹性形变的位移u^i,于是根据应变张量的定义和胡克定律,应变张量和应力张量都可以计算出来。于是弹性形变问题就完全解决了。

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