普通物理——电磁学

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电磁现象的图像其实是比较直接明快的,而其中的规律有很多数学上的缘故,所以在专栏里写不知该如何组织……这篇看起来可能非常枯燥,有兴趣的话我还是建议物理竞赛同学认认真真去看书,其实没什么难以理解的……

电磁相互作用是带电物体之间的一种相互作用。基本的物理图像是带电荷的物体激发电场和磁场,而电场和磁场对其中的电荷施加影响。很多书会将这种图像称为“近距作用”,而会顺带提及历史上曾经有过的一个观点——“超距作用”。物理竞赛初学电磁学可能会觉得这两种观点只是一种哲学上的取向,而没有实质区别。其实不然。电场和磁场的引入并不是仅仅将一个公式拆成两个这么简单,电磁场同样是可感知的存在,甚至并不依赖电荷而存在,这是无法在“超距作用”的框架下描述的。

所谓场,是一种弥散在空间中的东西,数学上表示成空间点的连续函数,而我们用同样的东西来描述电场和磁场。粒子在场中受到的影响,牛顿力学中可以用洛伦茨力F=q(E+vxB)来描述,而场的产生,则有一系列“规则”。值得一提的是,实际上牛顿力学和电磁学是不兼容的,这意味着我们只能在几种有限的情况下用牛顿力学处理电磁现象,即不涉及参考系变换的静电和静磁问题(比如运动电荷产生的电场就不完全是库仑定律了,而麦克斯韦方程本身就是相对论性的)。更一般情况下,我们应当使用狭义相对论来处理。当然,如果不涉及参考系变换,低速时狭义相对论和牛顿力学没什么太大区别。

静电,是指由静止电荷激发的电场,没有磁场的影响,电场本身也不随时间变化。一个静止的质点产生的电场,是按库仑定律随距离呈平方反比。而电场,作为一个向量,满足叠加的性质:总的电场等于各个物体激发的电场的和。静电场有很多有意思的性质,一是高斯定律:流过一个闭合面的电场,正比于其包裹的电荷数目。这可以看做是平方反比律的一个必然结果。另一个是环路定理:电场沿着任何一个环路的积分为0。沿环路积分为0,这意味着电场对粒子做功与粒子的运动路径无关,意味着我们可以选取一个参考点,然后只用电场从这个参考点到其他点所做的功来描述电场,即把一个矢量场——电场表述为标量场——电势的梯度。当然电势同电场一样满足叠加定律,不过作为标量,电势仅仅是标量相加。而库伦定律,如果用电势来些,可以写成拉普拉斯方程的形式。而拉普拉斯方程一个最有趣的性质,就是它的空间分布可以完全由边界上的取值来决定。而这也就是静电学中常说的唯一性定理

静磁,则是指恒定电流——即运动的电荷激发的磁场,没有净电荷和电场,磁场本身也不随时间变化。一段微小的电流产生的静磁场的大小,则是按照比奥萨法尔定律,同样随距离乘平方反比。但磁场和电场不同,不对电荷本身施加影响,而是对电荷的运动、对电流施加影响,即使导线本身没有净电荷。而且,两段电流的相互作用还与电流的方向有关系。然而与静电场对称地,静磁场也满足两个类似的定理:流过任何闭合曲面的磁场为0,及磁场对闭合路径的积分正比于穿过此路径的电流。第一个定理依然源于平方反比律及磁场无源的实验事实,第二个定律则表明了磁场不能表示成某种标量场的梯度。然而,由于第一个定律,我们依然可以把磁场表示成另一个矢量场——磁矢势的旋度。选择磁场还是磁矢势来描述,这似乎在数学上没什么区别。然而,在考虑到量子效应时,尽管磁场为0,磁矢势本身也会引起一些效应,这在A-B实验中得到证实。

而在非静电与静磁条件下,磁场的变化可以产生电场,这被称为感生电动势;而变化的电场也可以产生磁场,即麦克斯韦假设的位移电流。麦克斯韦将静电静磁的高斯定理与环路定理与这两点进行整合,提出了普适的麦克斯韦方程。麦克斯韦方程表述了一般情况下,电荷及电荷的运动如何产生电磁场,以及电磁场本身的动力学。

电磁介质,是处理宏观物体的一种常用的模型。因为宏观物体基本由电中性的原子分子构成,而不导电材料的原子分子实际上是由正电的原子核和负电的电子云构成的,在电场中,正电中心和负电中心错开,会形成次生的电场来与外界电场平衡,实际上消弱了外界电场。而同样原子具有磁矩(这基本是量子力学的效应),相当于一个小的电流圈,在外界的磁场作用下会旋转、排列起来,或抵消或增强外界磁场(反磁性与磁性)。这个图像同样提供了我们唯像描述电磁介质的模型。我们通过定义电位移矢量D和H(我不喜欢磁场强度这个误导人的称呼),通过定义电介质常数和磁导率,可以方便我们唯像地用类似麦克斯韦方程的形式来处理一般的电磁现象。而电/磁介质具体极/磁化的机制,则是非常复杂的问题了。

对于导体,我们有另一个唯像的定理:欧姆定律,即电流大小与电势之差成正比,或者用微观的语言,导体电荷的运动速度与电场强度成正比。虽然牛顿第二定律告诉我们电场强度与电荷的加速度成正比,欧姆定律的这个图像与牛顿第二定律可不一样,这是一种统计上的“运动速度”。在导体中电荷的运动速度也是无规则的,电子经常会和原子核相互作用,改变自己的运动状态。但在不断的“碰撞”之中,电子整体依然在导体中漂移,产生一个统计上的运动,即电流。值得注意的是电流是相应电场而产生的,而电场的传播速度是光速,所以一经通电,导线中的电场及电流几乎是瞬间建立起来的,尽管电流速度远小于光速。当然,这只是一种经典的图像,实际完全理解电导需要量子力学及能带理论,但这种经典的图像足够我们实用化使用。我们可以定义电阻、电容、电感等概念,设计电路,在电路中使用特化的电磁规律来分析电路,有一套系统的方法。这个在实际中的应用是非常广泛的。

当然,具体求解麦克斯韦方程,解决一般的电磁场与电磁波的问题,就是电动力学(这个断句应该是动力学)这门课的任务了。

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