理论力学之哈密顿力学

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理论力学之哈密顿力学

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如果不想看理论力学那么多细节,只想听听科普,那么只需要知道3件事情:

  1. 物理的理论可以完全看不到和现实的联系;
  2. 不但解释可以不同,物理甚至可以存在多种公式化的方式,只要给出同样的结果;
  3. 量子力学和经典力学其实有着很深的联系……

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一、

哈密顿力学是和拉格朗日力学等价的力学体系。然而,一般的书中介绍哈密顿力学时,总是讲它是如何从拉格朗日力学中“推导”过来的。但既然等价,这种推导应该是不必要的,应该有其他更基本的构建哈密顿力学的方式。这种方式大概涉及到相空间的几何性质,这我可能无法写得很清楚。

经验中确定一个自由度为N的系统的运动状态需要知道2N个参数,其中N个取为广义坐标q。那么另外N个是什么,拉格朗日力学中取为广义坐标对时间的导数——广义速度,而哈密顿力学则取为N个我们也不知道是什么东西的参数,叫做广义动量p

回忆一下相空间的概念,相空间是系统所有运动状态的集合,那么对于自由度为N的系统,相空间的维度是2N。既然我们选用广义坐标q和广义动量p作为系统状态的标记,不妨记x=(q,p)=(q_1,q_2,\cdots,q_N,p_1,p_2,\cdots,p_N)为相空间上的点。

我们假设相空间上的度规是这样的简单形式(参见Dubrovin《现代几何学》第一卷):

g=\begin{pmatrix}0_N & I_N \\-I_N & 0_N \end{pmatrix}
那么哈密顿力学相当于假设系统是一个梯度系统,其运动方程为微分方程:

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\nabla H(q,p,t)
方程中的“势场”H(q,p,t)称为哈密顿量。而回忆梯度的定义:

(\nabla H)_i=\sum_jg_{ij}\frac{\partial H}{\partial x_j}
这个方程给出的就是正则方程(英文Canonical其实是正统的意思……物理学家在这种地方总能给人一种中二的感觉):

\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}
那么对于任何一个函数f(p,q,t),它随时间的变化其实是:

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d} q_i}{\mathrm{d} t}+\sum_i\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d} p_i}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\sum_i\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}=\frac{\partial f}{\partial t}+\langle\nabla F,\nabla H\rangle
最后一项的\langle\cdot,\cdot\rangle是内积符号,在给定度规下,内积写作:

\langle\nabla F,\nabla H\rangle=\sum_{i,j}g_{ij}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\partial H}{\partial x_j}
那么定义泊松括号

\{A,B\}=\langle\nabla A,\nabla B\rangle
任何函数随时间的变化都可以写成:

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\{ f,H\}
如果函数f不显含时间,那么有:

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\{ f,H\}
特别的,对于哈密顿量本身,直接计算容易验证

\{H,H\}=0
所以

\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial t}
只要哈密顿量不显含时间,那么哈密顿量不随时间变化。

二、

哈密顿力学形式的构建到这里应该就完整了,但是这样我们看不到任何与具体问题的联系。这种联系我们还是需要从与拉格朗日力学的等价关系中寻找。首先,从上面看来,显然哈密顿量和拉格朗日量类似,也是足以表征系统运动性质的函数。因此当哈密顿量不显含时间的时候,也表明时间不影响系统运动的规律,系统具有时间平移的对称性。在拉格朗日力学中,这个对称性带来能量守恒量:

E=\dot{q}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-L
而在哈密顿力学中,这意味着哈密顿量不随时间变化,也就是说,哈密顿量是此时的守恒量。那么,最简单的情况下,等价性意味着哈密顿量正是能量:

H=E=\dot{q}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-L
如果再注意到拉格朗日力学中,动量p=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}},那么等式的右边正好像是一个勒让德变换的形式:

H(q,p,t)=\dot{q}p-L(q,\dot{q},t)
(严格来说,勒让德变换应该是H(q,p,t)=\sup_{\dot{q}}(p\dot{q}-L(q,\dot{q},t))。要求\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}>0一般都能满足,而对于给定的p,这最大值就取在p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}的位置,所以这还可以算是个勒让德变换。)

而勒让德变换,我们知道,正是将一组自变量中的函数与另一组自变量中的函数相联系的方式。而(q,p)坐标和(q,\dot{q})坐标描述的是同一个空间,p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}正好提供了一个将两组坐标相联系的变换。在这个变换下,哈密顿量和拉格朗日量通过勒让德变换相联系,这样我们就算是明确了两套力学之间的关系。

如果从这个勒让德变换出发,我们也可以从欧拉-拉格朗日方程推导出正则方程。这个计算还是很简单的。

这里做一些注记:

  1. 同样是运动方程,欧拉-拉格朗日方程是N个二阶常微分方程组,而正则方程是2N个一阶常微分方程组。解这些方程组时都会引入2N个常数,它们确定了系统的初始状态。这些地方是一样的。
  2. 同拉格朗日量类似,哈密顿量虽然等于能量,但它的绝对数值并没有意义,有意义的仍然是它的函数形式。因此,哈密顿量也可以相差一个常数而没有任何实际作用。
  3. 不是所有的系统的哈密顿量与拉格朗日量都有解析的表达式。比如,对于化学反应系统,它的哈密顿量有解析表达式:H(q,p)=\sum_ja_j(q)(e^{\langle p,v_j\rangle}-1),但它的拉格朗日量只是数值可算,没有解析的表达式。这个哈密顿量中,j是化学反应的编号,向量q是系统中各种分子的个数,v_j是反应j的状态改变矢量,a_j(q)是当系统的状态为q时,第j个反应发生的概率。

三、

当然,哈密顿力学远远不只有这么点点内容。如果给定系统的初态,将已经极小化的作用量当做末态的函数,考虑哈密顿量与之的关系,有(嗯,这里记号和概念会有点乱,注意一下积分符号里面的q,p是过程的函数,而积分符号外面的q,p是末态的坐标。):

S(q,t)=\int_{t_0}^t L\,\mathrm{d}t=\int_{t_0}^t(p\dot{q}-H(q,p,t))\,\mathrm{d}t
所以:\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=L

对路径做变分,考虑欧拉-拉格朗日方程:\delta S=\int_{t_0}^t\delta L\,\mathrm{d}t=\left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q\right]_{t_0}^{t}=\frac{\partial L}{\partial q}\delta q(t)=p\delta q
得到:\frac{\partial S}{\partial q}=p

那么由上面几式,\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\partial S}{\partial q}\dot{q}=\frac{\partial S}{\partial t}+p\dot{q}=L

\frac{\partial S}{\partial t}=L-p\dot{q}=-H
这样我们可以进一步用作用量S来代替动量p,得到的也是一个运动方程,叫做哈密顿-雅克比方程:

\frac{\partial S}{\partial t}+H(q,\frac{\partial S}{\partial q},t)=0
关于相空间中的几何还有众多topic,比如表明相空间中演化中区域体积不变的刘维尔定理,保持正则方程不变的正则变换等等。因为我也没有完全整理好它们的significance,这里就不详述了。

四、

在将经典力学过渡到量子力学时,相空间的坐标不再是实数,而要变成算符,系统的状态改由希尔伯特空间中的矢量——态来描述。由于算符的对易子所属的李代数与泊松括号的李代数同构,可以将经典力学中的方程翻译成量子力学。将经典的哈密顿量中的函数q,p改成算符\hat{q},\hat{p},得到的就是量子力学的哈密顿量;将泊松括号改成对易子,得到的就是量子力学的运动方程——海森堡方程:

\frac{\mathrm{d}\hat{F}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\hat{F}}{\partial t}+\frac{1}{i\hbar}[\hat{F},\hat{H}]
更深层次的关系,则要通过路径积分来理解:

一个系统从状态|a\rangle演化到|b\rangle的概率,写成对中间状态|a'\rangle的积分,等于:

\langle a|b\rangle=\int\langle a|a'\rangle\langle a'|b\rangle\,\mathrm{d}a'
如果我们加入很多中间状态:

\langle a|b\rangle=\int\langle a|a_1\rangle\langle a_1|a_2\rangle\langle a_2|a_3\rangle\cdots\langle a_n|b\rangle\,\mathrm{d}a_1\mathrm{d}a_2\cdots\mathrm{d}a_n
并将n\to\infty,得到的相当于是一个对于路径的积分。注意这里有测度的问题,因为一般的无穷重积分是没有定义的。严格定义路径积分需要引入维纳测度,细节我就不清楚了。而对于任意接近的两个无限接近的状态,我们假设概率为:

\langle a_i|a_{i+1}\rangle=\exp\left(\frac{iL}{\hbar}\mathrm{d}t\right)
那么总的概率可以写成:

\langle a|b\rangle=\int\prod_{\mathrm{Path}}\exp\left(\frac{iL}{\hbar}\mathrm{d}t\right)\,\mathrm{D}x=\int\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int L(x(t),\dot{x}(t),t)\,\mathrm{d}t\right)\,\mathrm{D}x=\int\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[x]\right)\,\mathrm{D}x
这里\mathrm{D}x表示积分是对于所有可能的路径积分。那么以这个积分为出发点,结合经典力学,也可以完全构建出量子力学。

从这里也可以粗糙地看出量子力学如何过渡到经典力学:如果作用量S比起\hbar大太多,对上面的积分有贡献的基本只有经典的路径,因为经典路径对应于S极小的路径。而偏离经典路径越远,S越大,附近路径的\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[x]\right)(注意其实是三角函数)震荡的频率也越快,求和后贡献基本相消,于是实际上有贡献的只有经典路径及其周围很窄的范围,因而此时粒子运动只走确定的路径。

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