物理学家告诉你什么是玻色子和费米子?

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两个可能性叠加,可变成不可能

量子粒子有很多种,各有不同的内秉性质。其中最重要的内秉性质就是玻色性和费米性。有玻色性或费米性的量子粒子分别叫做玻色子和费米子。到底什么是玻色性、费米性?在物理上,要定义任何一个概念,都要通过实验。 那玻色性、费米性是通过什么样的实验来观察到和定义的呢?

其实一个玻色子或费米子粒子的行为,可以用同样的薛定谔方程来描写,其在实验中的表现是完全相同的。读者可能会问:既然这两类粒子的行为一摸一样,为什么要自找苦吃,要把有同样行为的粒子起两个名字呢?

当我们只有一个粒子的时候,玻色子和费米子的行为的确一模一样,无法区别。但当我们有两个或多个相同种类的粒子的时候,他们的玻色性或费米性就显示出来了。也就是说我们必须做一个含有多个粒子的实验,才能看出粒子的玻色性和费米性。例如,一个含有两个粒子的实验是让两个相同种类的粒子相向而行,产生碰撞,我们在九十度偏折的方向,观测碰撞的结果(见图1)。

什么是玻色子和费米子?

图1  两个全同粒子的散射实验可以探测到粒子的玻色性和费米性。

我们注意到,当探测器探测到一个粒子的时候,这可能是由两个量子状态引起的:一个是粒子1向上跑粒子2向下跑,探测器看到的是粒子1;另一个是粒子1向下跑粒子2向上跑,探测器看到的是粒子2。因为这两个粒子是全同粒子,探测器无法区分看到的是粒子1还是粒子2。所以探测器看到的是两个可能性的总和。这时候量子世界的神奇就显示出来了:虽然两个可能性分别都不为零,但它们的”和”却可以是零!

什么是玻色子和费米子?图2  两个波的”叠加和”叠加.

这怎么可能呢?我们注意到,在两种可能性中,向上跑的粒子1和粒子2都是波。所以两种可能性的叠加是波的叠加。但两个波的叠加可以是” “,也可以是” “(见图1)。如果波峰对波峰,波谷对波谷,两个波的叠加就会加强,探测器会看到更强的信号。但如果是波峰对波谷,波谷对波峰,两个波的叠加就会相消,探测器就会得到零信号。 这就是所谓的量子干涉现象。

什么是玻色子和费米子?
玻色(左)、费米(中)、狄拉克(右)

那么探测器究竟会测到什么信号呢?上面提到,探测器探测到一个粒子,对应于两个量子状态:一个是1上2下,一个是2上1下。两个状态差了一个粒子1和粒子2的交换。如果两个粒子是玻色子的话,交换不会给出负号,两个波的叠加是” “,探测器可以探测到散射的粒子。如果两个粒子是费米子的话,交换会给出额外的负号,两个波的叠加是” “,两波相消,探测器观察不到90度散射的粒子(当然探测器可以看到其它角度散射的粒子)。所以通过散射实验,我们可以判断粒子是玻色子还是费米子。

这就是我们奇妙的量子世界:粒子可以带玻色性或者带费米性。玻色性和费米性纯粹是量子性质,没有经典对应,不容易理解和想象。比较通俗地说,两个玻色子交换,它们的波相加。所以两个玻色子喜欢待在一起,有亲和力。 两个费米子交换,它们的波相消。所以两个费米子无法待在一起,互为排斥。 这就是有名的泡利不相容原理:两个费米子不能占据同一个状态。

标准的量子教科书中有很多关于玻色子和费米子的描述,但很少讲如何从实验定义玻色子和费米子。一个比较标准的讲法是玻色子有对称的波函数,而费米子有反对称的波函数。其实这一讲法不很合适,因为玻色子费米子都可以用对称的波函数来描写。另一种说法是玻色子由对易算符产生,而费米子由反对易算符产生。其实费米子产生算符仅仅是人脑的一个想象,自然界中不可能实现。另外,一个没有反对易算符的量子体系,照样可以有费米子。所以用反对易算符来定义费米子,也可算是一个误导。到了博士阶段,教科书又把费米子定义为反对易量子场。这有同样的问题,一个没有反对易量子场的系统照样可以有费米子。到底什么是费米子?有时候,我们学得越多并不代表我们理解得越深。它有可能代表我们陷的更深,代表我们坐井观天的井更深。 

什么是玻色子和费米子?
泡利

原子不像一个缩小的太阳系
更像一个乐器

大家也许会问,我们为什么要在乎这种虚无缥缈的玻色性和费米性?这有什么用?有什么应用价值?有什么工业价值?对人类的生活能带来什么好处?还是这仅仅是好奇的大孩子们之间的智力游戏?

其实人类的存在,生物的存在,多彩物质世界存在,都源于电子的费米性。如果没有电子的费米性,根本就不会有智慧生物,更没人来研究电子的费米性。

为什么电子的费米性如此重要?我们首先要理解原子的内部结构。1909年,卢瑟福用 粒子(也就是氦原子核)轰击原子,试图来探测原子的内部结构。他发现原子都是由原子核和电子组成的。但电子绕着原子核的运动轨道并不像地球绕太阳那样,它不是一个圈儿。这是因为电子是一个波,电子绕原子核的各种不同的运动,是由不同形状的波函数来描写的。 所以电子的运动,实际上是一个三维分布,是电子波函数的形状。这就像敲鼓一样,敲在鼓面的不同点,将引起鼓面不同形式的振动。

什么是玻色子和费米子?图3  鼓面的不同振动模式。最简单的振动模式频率最低f=1 。振动模式越复杂频率越高。

我们知道, 鼓面有一些特殊的振动模式,它们有自己的固有的振动频率(见图3)。 类似的,电子的波函数也有一些特殊的模式,有其固有的振动频率(见图3),描写有确定能量的电子运动状态。 而能量E,是根据著名的普朗克公式,由频率 给出:f 。这里h 是普郎克常数。

由于电子受到原子核的作用,电子有一个不为零的势能什么是玻色子和费米子? 。描写电子波函数演化的薛定谔方程也需要修正一下

什么是玻色子和费米子?通过解这一带势能的薛定谔方程,我们可以得到原子中有确定能量的波函数(见图4),其描写有确定能量的电子运动状态。我们看到一个电子的运动模式,跟鼓面的振动模式很相似。有些模式能量高(频率高),有些模式能量低(频率低)。

什么是玻色子和费米子?图4  原子中各种电子轨道(波函数)的形状。这些轨道分成几行。每一行上的轨道能量接近(最后两行应分别插入到第六行和第七行之中)。第一行只有一个球形轨道(左上角),其能量最低。下面随着行数的增加轨道能量也递增。如果同颜色的轨道都被电子占据,那么这个原子就是一个完美的球形。如果同颜色的轨道有些被占据,有些没被占据,那么原子的形状就有这些轨道给出。

原子中的电子总是想降低它们的能量。这个能量最低的运动模式最稳定。当一个原子只有一个电子时(像氢原子),能量最低的运动模式就是由图中左上角那个球形的波函数来描写的。这就是氢原子的形状:一个完美的圆球(而不是像很多文章中画的那样,为一个圆盘)。

我们把原子中的电子运动模式,称之为电子的轨道。当一个电子以某一个模式的波函数运动时,我们就说这个电子占据了那个轨道。所以氢原子中的电子占据了左上角那个球形轨道。

这些电子轨道能量的结构,可以通过原子的光谱来探测和验证(见图5左上)。当一团原子气温度很高的时候,原子之间会有激烈的碰撞。这些激烈的碰撞,会使原子内的电子,跳到能量较高的轨道上去。当电子从高能轨道跃迁到低能轨道时,会发射一个具有确定能量的光子,其能量等于这两个轨道的能量差。由于能量和频率的关系,这些光子也有确定的频率。这给出了高温原子气体的发射光谱(图5右上图中的亮线)。
什么是玻色子和费米子?
图5  电子从高能轨道向低能轨道跃迁,产生发射光谱。电子还可以吸收光,从低能轨道跳到高能轨道,这一过程产生吸收光谱。

当我们把光照到一团冷原子气时,电子会从低能轨道跃迁到高能轨道,从而吸收一个确定能量,也就是有确定频率的光子。因为只有某些特定频率的光子被吸收,这给就出了冷原子气体的吸收光谱(见图5下图中的暗线)。注意,发射光谱的亮线位置和吸收光谱的暗线位置,是有一定的对应关系的,因为它们都对应与电子轨道之间的能量差。

我们看到,一个原子不象一个太阳系,而更像一个乐器。不同的乐器有不同的音质。类似的,不同的原子有不同的光谱。

走运的玻尔 

什么是玻色子和费米子?图6  玻尔原子模型 = 缩小的太阳系

谈到原子的内部结构,不能不提到玻尔模型。 1913年玻尔提出的原子模型,就是把原子想象成一个缩小的太阳系,电子绕着比原子小十万倍的原子核转圈儿。以太阳系不同的是,玻尔加了电子运动量子化条件:电子的角动量L 必须是h/2pi的整倍数。也就是 什么是玻色子和费米子? ,这里n是整数。利用牛顿方程(当时还没有薛定谔方程),加上角动量量子化条件,玻尔计算出氢原子中电子轨道的能量

什么是玻色子和费米子?这一从牛顿方程所推导出来的结果当然是错的。正确的结果是

什么是玻色子和费米子?但玻尔十分走运,如果我们把角动量平移一个单位:什么是玻色子和费米子? 的话,错误的公式可以完全吻合上正确的公式。这完全是一个巧合。因为原子的光谱只在乎不同轨道的能量差,并不在乎每个轨道的角动量是多少,所以玻尔的错误公式,精确地解释了实验观测到的氢原子光谱。这对早期让大家接受量子力学,起了很大的帮助。玻尔实在是运气。如果电子和原子核的作用力,不是正好和距离平方成反比,玻尔模型所得出的轨道能量值,就会是错的,和实验观测到的光谱,将会完全比不上。那样大概会没人接受量子力学。我觉得玻尔最大的贡献是提出了量子态的概念。他帮助我们跳出牛顿理论的框框。

世界的多彩来源于电子的费米性 

当原子中有很多电子的时候,这些电子也将尽量占据能量低的轨道。如果电子是玻色子的话,原子中的电子都会挤在同一个最低能量的轨道上(玻色子喜欢待在一起),也就是图4中左上角那个球形轨道。这样所有原子都是球形的,长的都一样,个个都像惰性的氦原子。这样的原子没有化学活性(没有化学反应,没有化学键)。缺少了丰富的化学,我们就失去了坚硬的固体,所有行星都是像木星一样气态行星(见图7),从而失去了多彩的世界。我们还失去了有机分子,当然也失去了最复杂的生物世界。

0图7:木星和它的大红斑。虽然没有丰富多彩的生物世界,但还是有复杂的湍流气候现象。在电子是玻色子的宇宙中,这大概是可能出现的最复杂的自然现象。但没人欣赏。

如果电子是玻色子的话,我们宇宙还是会有很多原子。但每种原子都像氦原子一样,没有化学活性。这样的世界将是荒芜的世界。每颗行星都是像木星一样的气体行星。氦原子根本无法形成复杂的有机分子,我们更不会有活生生的的生物世界。但这个世界会有让人惊艳的湍流。

幸运的是我们这个宇宙中的电子是费米子。原子中的电子必须占据不同的轨道(费米子无法待在一起)。所以当原子带有多个电子时,电子,按能量由低到高,依次的填充不同的轨道。所以 当电子数目不同时,电子的轨道占据构形也是不同的。 因为原子的形状,主要是由最后被占据的同颜色轨道所决定的,我们发现, 带不同数目电子的原子,会有不同的形状。这导致了原子的丰富形状和丰富的化学活性。 

在奥妙神奇的量子世界一文中,我们提到金属中的电子在疯狂地,以1500倍的音速,跑来跑去。其实一块金属和一个原子有些相像。在金属中电子待在一个大盒子里,而在原子中电子待在一个小盒子。所以像金属一样,多电子原子中的电子也在疯狂地跑来跑去。这是因为由于电子的费米性,电子不能都占据,那个最安静能量最低的球形轨道。大多数电子不得不占据那些能量高的轨道,不得不跑来跑去。这也是为什么金属中的电子,不得不跑来跑去的原因。这种,从低能量轨道到高能量轨道,逐一按顺序填充的图像,导致了所谓费米子海的图像。金属和原子都可以看成是填到某一个水平的费米子海。

我们还有另一个图像,来想象金属中费米子的行为。由于泡利不相容原理, 金属中的每一个费米子都有自己一个私密空间。每个费一米子都待在自己的私密空间中,老死不相往来。 这样每个费米子的位置就比较确定。那么根据海森堡测不准原理,它的动量和速度就不那么确定,不会是确定为零。这个不为零,不确定速度可以从私密空间的大小l 来估算:什么是玻色子和费米子? 。我们看到,电子的密度越高,l 就越小,它跑的就越疯狂。

但一个玻色子体系就有很不相同的图像。 玻色子相互渗透亲和,没有自己的私密空间。所有玻色子都喜欢待在同一个能量最低的轨道上,安安静静,和和谐谐。 这就是所谓的玻色-爱因斯坦凝聚态,其导致了令人惊叹的超流超导现象。

我们看到电子的费米性,导致了丰富多样的原子。这使我们有了更加丰富多样的分子,有了形状奇特让人惊艳的蛋白质,有了玲珑精巧一让人不可思议的病毒,还有了巧夺天工让人目瞪口呆的细胞。由电子的费米性所导致了绚丽精彩的世界(见今天二条文章),让人叹为观止。我们很幸运,生活在这个电子有费米性的宇宙之中,能够欣赏由原子这些乐器,所演奏的自然大观交响乐。

这就是我们多彩世界的基础。发现了费米性,我们就理解了我们世界多彩的起源,也为我们创造更加精彩的世界,提供了理论工具。什么是玻色子和费米子?

丰富多彩的分子

什么是玻色子和费米子?
惊艳的蛋白质

什么是玻色子和费米子?
玲珑精巧的病毒。第一行描写了病毒如何往细胞内注射它自己的DNA/RNA。第二行描写了爱滋病毒,和它如何利用细胞来复制自己。

巧夺天工的细菌。很多细菌带有会旋转的尾巴。这一尾巴是通过一个原子轴承来接到细胞膜上。这一原子轴承还是一个原子发动机, 能靠离子的流过,消耗细菌内的能量,来带动尾巴旋转。

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