物理竞赛需要掌握哪些数学知识?

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经常听说:“数学是物理的基础”,事实上数学是物理的载体,而物理模型的数学描述,是数学的应用,这两者在历史上是互相促进的关系。牛顿为了研究动力学问题而开发了微积分这个数学分支;高斯对矢量场的研究被后人用到电磁学里;爱因斯坦花了许多年学会黎曼几何之后,终于完成了广义相对论!

高中物理竞赛的学习当中,初等数学范围之下,虽然能应付所有的高考范围当中的物理问题,但是对每个物理知识点的理解是非常不充分的。例如万有引力和引力势能的关系;电场和电势的关系;均匀带电球内外的电场分布;电流受到的安培力等等举不胜举无法有效解释的知识点!

适当学会一些高等数学,不仅仅是为了参加物理竞赛,更是为了拓展自身看问题的广度与深度,拓展自己对物理学的理解。

物理竞赛力学部分需要哪些数学?

首先,为了理解力学一开始的匀加速直线运动和变加速直线运动,对于一元函数的简单微积分是必不可少的,当然主要集中在多项式函数的求导和积分上,实际操作起来十分容易。

此后,当运动范围被拓展到二维,运动形式成为曲线时,矢量代数、解析几何、参数方程、斜率、曲率半径等数学概念被融入到物理模型中,用来理解抛体、圆周、一般曲线运动。这时微积分的应用也被拓展到更为复杂的函数范围,例如三角函数。

随着运动和力的关系——牛顿第二定律的引入,我们逐渐意识到光理解运动是不够的,运动背后的机理——力的作用,以及力的效果,才是我们要研究的。动量定理、动能定理的引入,实际上反映了力在时空的积累效果,而牛顿方程本身,也是物理学家特别喜欢的形式——微分方程。对于矢量和微积分更综合的运用体现在一种伴随物理学发展史的特殊运动形式——简谐振动当中。而振动在介质当中的扩散效应——波动,又引出了波动方程、波函数这一时空函数的概念。

总结下来,力学部分所需要的数学是一元函数的微积分、矢量代数、解析几何、常微分方程、对二元函数的运用。

物理竞赛热学部分需要哪些数学?

虽然高中热学部分涉及气体定律和热力学第一定律的内容比较容易,一般不需要微积分,但如果深入学习,热力学过程、各种态函数(内能、熵)、热力学第二定律,那么由于热力学体系变量多,适当的偏微分基础知识是必要的。

热力学是宏观的理论,而其背后有着分子动理论作为基础,它们之间的联系是通过对大量粒子系统的统计来实现的,因此,概率统计的知识就显得十分必要了。

总结下来,热学部分所需要的数学是简单的偏微分和概率统计。

物理竞赛电磁学部分需要哪些数学?

依照往年的经验,电磁学是最容易让高考学生放弃物理、竞赛学生放弃物理竞赛的困难内容。原因是因为数学不到位,非但理解不了场的概念,而且容易产生记忆模型和公式,套例题做习题的固有思维模式,最终对于电磁学可谓是“一点没学会”!

从静电场开始,如果仅仅按高中的要求来学习,对于场的理解是空洞的,仅仅是唯像的概念,对于电场线、电势、静电平衡、介质极化等概念无法做到深入掌握,那就更别提解答赛题了。

实际上,由于静电场一开始就从点电荷的库仑定律出发,直接进入三维空间,所有的定律都是三维表述的,因此立体几何,空间位置的函数就要求马上能用。紧接着,从库仑定律引出高斯定理,考察对称性强的体系,因此球坐标、柱面坐标、直角坐标之间的互换;矢量在面上的积分、在线上的环路积分、格林定理等内容,必须跟上。

同时,在一块小的局域空间中考虑问题,静电场方程的微分形式,三维偏微分和纳布拉算符等内容必须有所了解。你以为真的学会微积分了?小心这6个天坑!

光是静电场一块内容就需要这么多数学工具,足以见得电磁学是多么难学!实际上,对于电磁学的学习是很标准的循序渐进的过程,先有唯像了解,对于不理解的部分需要进一步深挖,数学工具可以先从矢量积分入手,最后再理解场的微分方程,这样就能事半功倍了。  电路的内容看似与初中很像很容易,但是一旦涉及到导体内部的电导率模型,欧姆定律的微分形式,电荷守恒等内容,那就又需要微积分的帮助。交流电路则需要理解复数方法描写振动。同时,有些电阻网络问题还需要数列递推等数学知识,在学习过程中应当似海绵吸水,缺什么补什么!

进入磁场和电磁感应以后,磁场方程、电磁场联合描写的麦克斯韦方程组等等,无一不是矢量场微积分的联合运用。同时,还涉及到电磁波的波动方程,复数法描写波函数等内容。

总结下来,电磁学部分所需要的数学是矢量场的微积分、复数、微分方程的知识。

物理竞赛光学和近代物理部分需要哪些数学?

很明显,几何光学需要的平面几何知识在初中就学过了,这就是为什么几何光学可以被下放到大同杯成为关键考点。然而在以往的教学中,我们发现学生对于真实成像系统的理解是极不到位的,换句话说是题目会做,但搞不清楚实际的光学仪器原理。因此,几何光学的难点不在于数学,而在于实际应用。

波动光学(干涉、衍射、偏振、界面光学)无外乎是电磁波的波动性的应用,需要的数学与电磁场的数学一致。

近代物理的唯像内容实际上是经典物理的大融合,数学自然也突破不了上文介绍的所有数学工具。初步的量子力学需要有概率的世界观和对于波函数的理解,如果要精确计算,那么必须掌握数学物理方程的内容,我们认为是没有必要在这个年龄段去学习的。狭义相对论则需要洛伦兹变换、四位矢量的运算,并未增添新的数学。

总结下来,光学和近代物理部分所需要的数学是未超出之前提到的内容。但要学懂这部分内容,需要对力热电光四大板块非常了解才行。更多数学和物理知识欢迎到质心物理冬令营学习!

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