鸡蛋方程——麦克斯韦的非凡一念

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麦克斯韦(James Clerk Maxwell, 1831-1879), 苏格兰数学物理学家。他第一个给出了卵形线的方程,时年仅14岁。麦克斯韦系统地研究过他那个时代的所有物理学分支,他的关于电磁学和气体运动的著作至今依然被奉为经典。麦克斯韦研究电磁现象,得出了著名的麦克斯韦方程组;研究光学与视觉,不仅给出了颜色的理论,还拍出了第一张彩色照片;研究气体的运动,得出了麦克斯韦分布。

数学界有个玩笑,说把一个人从睡梦中叫醒,问他什么是庞加莱引理,回答不上来的,肯定不是微分几何学家。类似的严肃玩笑也适用于物理学家。把一个人从睡梦中叫醒,让他写出麦克斯韦方程组。写不出来的,算不得物理学家。一个还算像样点的物理学家,不仅要能写得出麦克斯韦方程组,其实也要懂得什么是庞加莱引理,因为庞加莱引理对物理学家来说可能要比对数学家意味着更多的东西。

大学时期的麦克斯韦

图1. 大学时期的麦克斯韦

麦克斯韦(James Clerk Maxwell, 1831-1879), 苏格兰数学物理学家。麦克斯韦天资聪颖,少年时即英气逼人(图1)。他最大的成就就是把当时的关于电磁理论的结果融合进一套方程组里面,这就是著名的麦克斯韦方程组:

麦克斯韦方程组

这套方程组到底包含多少了不起的物理内容,物理学博士们一定要努力去了解。

首先,可把这个方程组写成波动方式。难道电磁现象意味着存在电磁波?后来赫兹的实现证实确实可以用电路产生电磁波。其二,这个波动方程中给出的波速的值,和当时测量到的光的速度差不多。人们自然要问:光是电磁波?答案结果是肯定的。现在我们已经确切地把光的理论建立在电磁学理论之上了。其三,这个波动方程中的波速是由电磁现象导出的,从来没有提及运动参照系的问题。难道光速在所有的运动参照系里都是一样的? 今天我们知道,爱因斯坦相对论的一个主要论点就是光速是一个不依赖于参照系的常数。当然了,光速不仅仅是一个常数,我们还规定它是一个整数!第四点,有人把麦克斯韦方程组改写成薛定谔方程那样的本征值问题,这导致了光子晶体概念的产生。光子晶体理论让我们理解了蝴蝶翅膀和孔雀羽毛为什么会在不同的角度看来具有不同的色彩。从麦克斯韦方程组还能挖掘出什么内容?不知道。我要知道的话我早告诉全世界了。

喜欢争论的读者可能会说,麦克斯韦方程组是麦克斯韦把前人研究电磁现象得到的结果糅合到一起得到的,算不得什么本事。如果真是这样的话,那还真算不得什么本事。问题是,你仔细看看方程组,前三个方程的右侧都是只有一项,实际上如果只考虑电磁感应定律的话,第四个方程右侧也只有前面一项。第四个方程右侧的第二项,就是我们高中时学到的位移电流,是麦克斯韦纯粹从数学角度考虑给加上去的。如果第四个方程右侧只有前面一项的话,则对自某点发出放射状电流的情形,这个方程数学上是无法成立的。麦克斯韦引入了位移电流这一项,这样整个方程组在数学的意义上就变得完美了。当然,最重要的是,位移电流这个概念确实是正确的。顺便说一句,麦克斯韦方程组可以写成单一方程的形式。

麦克斯韦在构造麦克斯韦方程组时表现出了非凡的数学天分。其实,麦克斯韦的数学天分在他还是一个少年时就淋漓尽致地表现出来了。据说,麦克斯韦小时候也被要求去学画画,好像学画画的基本功练习就是画蛋。有一天,麦克斯韦想到:要是能给出蛋的方程的话,画蛋可能就容易了。1845年,麦克斯韦在他十四岁时终于想明白了鸡蛋方程该是什么样子的。

从椭圆看如何画卵形线

图2. 从椭圆看如何画卵形线

麦克斯韦从椭圆出发。椭圆可以定义为到两个点(焦点)距离之和为常数的点的集合,这个条件写成方程就是      l₁+l₂+=C。我们还可以写得更仔细一点1×l₁+1×l₂=C。到两点的距离,都有同样的倍数,为1,因此椭圆关于这两个焦点是对称的。如果到两点的距离有不同的倍数,也即把方程变成a×l₁+1×l₂=C的样子,所得的图形是否就一头大一头小像个鸡蛋了呢?读者很容易看出,确实是这样(图2)。麦克斯韦仔细研究了到两点距离取不同倍数所得到的卵形线的性质。麦克斯韦的父亲非常为儿子感到自豪,他把麦克斯韦的研究结果呈送给爱丁堡大学的教授Forbes,得到了高度评价。1846年,麦克斯韦关于卵形线的研究成果发表在苏格兰皇家科学院的院刊上,那一年他15岁。

麦克斯韦为我们留下了许多宝贵的科学遗产,这包括关于气体运动的理论和关于视觉与光学的理论。前者具体地指大学物理中常提到的关于气体分子速度的麦克斯韦-玻尔兹曼分布,后者包括他的红绿蓝三原色理论。图3所示的照片就是根据麦克斯韦三原色理论得到的人类第一张彩色照片。此外,他还是第一个注意到物理学中量纲分析的人。

第一张彩色照片

图3. 人类的第一张彩色照片,摄于1861年。照片中的物体为一条花格子丝带。

1879年,麦克斯韦在其创造的高峰期被疾病夺去了生命,年仅48岁。他用不长的一生,为后世的物理学家树立了一座仰之弥高的丰碑。

参考文献

1. James Clerk Maxwell, A treatise on electricity and magnetism, Clarendon Press (1998).

2. Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampere to Einstein, Oxford University Press (2000).

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